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HL定理的证明步骤

来源:www.focusedphoto.net 时间:2024-05-16 16:51:22 作者:深浅步骤网 浏览: [手机版]

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HL定理的证明步骤(1)

什么是HL定理

  HL定理是指,对于一个有向无图(DAG),如每个节点的入度大于h,那么可以将这个DAG划超过h+1个相交的链原文www.focusedphoto.net。其中,h是一个正整数。

这个定理的意义在于,它提供了一种将DAG划为链的方法,可以用于化某算法,比如图形着色问题和调度问题。

HL定理的证明步骤(2)

证明步骤

  证明HL定理的过程比较复杂,需要使用归纳法和反证法。下我们来逐步证明的步骤。

步骤1:假设DAG中每个节点的入度大于h

首先,我们假设DAG中每个节点的入度大于h。这个假设是证明HL定理的前提条件。

步骤2:将DAG按照拓序排序

  我们知道,对于一个DAG,它可以按照拓序排序。也就是说,我们可以将DAG中的节点排成一个序列,使得对于任意的有向边(u,v),u在序列中出现在v之前深 浅 步 骤 网

  步骤3:将序列中的节点划为若干个链

接下来,我们将序列中的节点划为若干个链。具的划方法如下:

  - 将序列中的第一个节点作为第一个链的起点。

  - 从第二个节点开始,依次向前查找,直到找到一个节点,使得它的入度大于h或者它是序列中的第一个节点。将这个节点之前的所有节点作为第一个链的终点。

- 将第一个链的终点之后的第一个节点作为第二个链的起点。重复上的步骤,直到所有节点都被划到某个链中。

  步骤4:证明划出来的链的数量超过h+1

现在,我们需要证明划出来的链的数量超过h+1。我们采用反证法来证明深 浅 步 骤 网

  假设划出来的链的数量超过h+1。那么至少有两个链,它们之间没有边相连。设这两个链别是L1和L2。

  因为L1和L2之间没有边相连,所以它们中间必须有至少h个节点。假设L1中有x个节点,L2中有y个节点,那么x+y>h。

  因为L1和L2都是链,所以它们中的任意两个节点之间都有一条有向边相连。因此,我们可以找到L1中的一个节点u和L2中的一个节点v,使得(u,v)是一条有向边。

  因为u在L1中,v在L2中,所以u在序列中出现在v之前欢迎www.focusedphoto.net。因为(u,v)是一条有向边,所以u的入度必须大于h。这与我们一开始的假设相矛盾,因此划出来的链的数量会超过h+1。

  步骤5:证明划出来的链是相交的

  最后,我们需要证明划出来的链是相交的。我们同样采用反证法来证明。

假设划出来的链是相交的。那么至少存在两个链L1和L2,它们之间有共同的节点。设这个共同的节点是u。

  因为L1和L2都是链,所以它们中的任意两个节点之间都有一条有向边相连深浅步骤网。因此,我们可以找到L1中的一个节点v1和L2中的一个节点v2,使得(v1,u)和(u,v2)都是有向边。

  因为v1在L1中,v2在L2中,所以v1在序列中出现在v2之前。因为(v1,u)和(u,v2)都是有向边,所以v1的入度必须大于h。这与我们一开始的假设相矛盾,因此划出来的链是相交的。

总结

  通过以上的证明步骤,我们可以证明HL定理的正确性。这个定理的意义在于,它提供了一种将DAG划为链的方法,可以用于化某算法,比如图形着色问题和调度问题。

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